Ответы и решения:
5 класс
5.1      3 9 5  6 7 0
        + 2 0 1  21 9   
           59 6  8 8 9
5.2.Ответ. У Пети.
Решение. Так как две двойки в произведении дают 4, то произведение 12 Васиных четверок то же самое, что произведение 24 двоек. А так как Петя перемножил 25 двоек (25>24), то и результат у него получился больше (в два раза).
5.3.

5.4.Ответ. 45 и 55 рыбок соответственно.
Решение. После отселения в аквариумах осталось 100-30-40=30 рыбок. Значит, в каждом по 15. Поэтому в первом вначале было 15+30=45 рыбок, а во втором 15+40=55 рыбок.
5.5.Решение:888+88+8+8+8=1000
                                                          Шестой класс

6.1.  Ответ. Например, скобки можно расставить так: (7 – 6) – (5 – 4) – (3 – 2 – 1) = 0.
6.2   Ответ.У Васи число больше.
Решение. Так как две тройки в произведении дают 9, то произведение 55 Петиных троек то же самое, что произведение одной тройки и 27 девяток. Так как произведение тройки и 27 девяток меньше, чем произведение четверки и 27 девяток, то Петино число меньше.
6.3.  Ответ. Например, возможны такие последовательности переливаний: {0, 0, 20} {0, 5, 15} {3, 2, 15} {0, 2, 18} {2, 0, 18} {2, 5, 13} {3, 4, 13} либо {0, 0, 20} {3, 0, 17} {0, 3, 17} {3, 3, 14} {1, 5, 14} {1, 0, 19} {0, 1, 19} {3, 1, 16} {0, 4, 16}.
6.4. Ответ. Подойдет любая из следующих двух последовательностей:
2229, 2230, 2231, 2232, 2233, 2234, 2235
2215, 2216, 2217, 2218, 2219, 2220, 2221

6.5.Решение:15306+15306=30612

                                                           7 класс

7.1. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 50 обменов?
Ответ. 201.
Решение. После каждого обмена количество Петиных наклеек увеличивается на 4 (одна наклейка исчезает и появляется 5 новых ). После 50 обменов количество наклеек увеличится на 50*4=200. Вначале у Пети была одна наклейка, после 50 обменов будет 1+200=201.

7.2. Ответ. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10.

7.3 Ответ. Например, скобки можно расставить так: (7 – 6) – (5 – 4) – (3 – 2 – 1) = 0.

7.4. Однажды дядя Федор взвесил Шарика и Матроскина. Оказалось, что Шарик на 6 кг тяжелее Матроскина, а Матроскин втрое легче Шарика. Сколько весил Матроскин?
Ответ. 3 кг.
Решение. Так как Матроскин втрое легче Шарика, то Матроскин легче Шарика на два своих веса. По условию это равно 6 кг, т.е. Матроскин весит 6:2=3 кг.

7.5.Решение:74235+74235=148470.
                                                8 класс
8.1.Голова рыбы весит столько, сколько хвост и половина туловища, туловище — столько, сколько голова и хвост вместе. Хвост весит 1 кг. Сколько весит рыба?
Ответ. 8 кг.
Решение 1. Туловище весит столько, сколько голова и хвост, т.е. два хвоста и половина туловища. Значит, половина туловища весит как два хвоста, т.е. туловище весит 4 кг. Тогда голова весит 1+2=3 кг, а вся рыба 4+3+1=8 кг.
Решение 2. Обозначим Г, Т, Х – вес головы, туловища и хвоста соответственно. Тогда по условию Г=Т/2+X, Т=Г+Х. Откуда Г=(Г+Х)/2+Х, т.е. Г=3Х. Значит, рыба весит Г+Т+Х=3X+(3Х+Х)+Х=8Х=8 кг.
8.2. Вася вырезал из картона треугольник, разрезал его на два треугольника и послал обе части Пете, который опять сложил из них треугольник. Верно ли, что Петин треугольник обязательно равен вырезанному Васей? Если нет – приведите пример, если да – обоснуйте.
Ответ.Нет.
Например, если Вася разрезал остроугольный треугольник АВС по медиане BD (см. рис.), а Петя сложил треугольник так, как это показано на рис.   
Получившийся треугольник не равен исходному, т.к. исходный – остроугольный, а получившийся – тупоугольный (‹А получившегося треугольника равен сумме‹А и ‹С исходного).

8.3Ответ. Средний.
Решение. На большой палец приходится счет 1, 9, 17, 25, …, 2009 так как 2009 = 8х 251+1.
8.4.  Решение. 94950+80850+74350=250150.
8.5. Ответ. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10.

9 класс
9.1      93989+7492+7492=108973.
9.2. Решение. Сложив два данных равенства, получим a+ 3b +2c =3c+ 3a , откуда
c +2a= 3b .
Замечание. Решая систему методом подстановки получим: a = b = c, откуда также
следует доказываемое равенство.
9.3 Ответ. Не может.
Решение. Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних кустах вместе нечетное число ягод. Тогда количество ягод на восьми кустах равно сумме четырех нечетных чисел, т. е. числу четному. Значит, на всех кустах вместе не может быть 225 ягод.
9.4    Ответ. ∠ABC = 90°.
9.5Ответ. В 1,5•раза. Решение.  Сначала девочек было в 1,5 раза больше, чем мальчиков, а через полчаса стало поровну.   При этом количество девочек не изменилось. Значит, мальчиков стало в  1,5•раза больше. Через час отношение числа мальчиков к числу всех детей стало таким же, как было в начале. Но число мальчиков больше не менялось, значит, число всех детей (по сравнению с исходным)  увеличилось в 1,5 раза.
Комментарий.  Ответ найден подбором и не показано, что нет других решений – 3 балла. За арифметические ошибки при верных рассуждениях снижать на 1–3 балла.
                                     10 класс
10.1Решение. Сложив два данных равенства, получим a+ 3b +2c =3c+ 3a , откуда
c +2a= 3b .
Замечание. Решая систему методом подстановки получим: a = b = c, откуда также
следует доказываемое равенство.

10.2  Ответ. 151.Решение. Запишем выражение  1 – (2 – (3 – (…99 – (100 – x)…))) и начнем раскрывать скобки с левого конца: 1 – 2 + (3 –  …). Видим, что перед нечетными числами знак меняется четное число раз, а перед четными числами – нечетное число раз. В результате получим 1 – 2 + 3 – 4 + …+ 99 – 100 + x = 101.  Объединим числа в пары: (1 – 2) + (3 – 4) + … + (99 – 100) + x = 101. Значение каждой скобки равно -1, а всего их 50. Из уравнения  -50 + x = 101 находим x = 151.
Комментарий. Только ответ без пояснений – 0 баллов.  Записано первоначальное  выражение – 1 балл.  Верный ход решения, но ошибки в преобразованиях – 1-3 балла.

10.3  Ответ. 60º.
Решение.

Обозначим  BAC = α,  ABC  = 2β,  BCA= 2γ. Пусть  BAC =  BDC. Тогда из треугольника ABC  α = 180º - 2β - 2γ, а из треугольника BDC  α = 180º - β – γ. Тогда β + γ = 0, что невозможно.
Пусть  BAC =   BDE.  Тогда из треугольника ABC  α = 180º - 2β - 2γ,  а  BDE является внешним для треугольника BDC,  поэтому α =  β + γ. Отсюда 3α = 180º, α = 60º.
Комментарий.  Верный ответ получен на основании чертежей без доказательства – 1 балл. Рассмотрен только вариант  BAC =   BDE– 4 балла. Рассмотрен только вариант  BAC =    BDC  – 2 балла.
10.4 Ответ.в 12 00.
Решение. За 1 час от 1600 до 1700 поезд проехал 0,25 пути с момента выезда до 1600.
Значит, он ехал 4 часа и выехал в 1200.

10.5    47317+42150=89467.

                              11 класс

11.1.      Ответ  15.  Решение.  Перепишем неравенство в виде:  (n2)17< (35)17.  Достаточно найти наибольшее натуральное решение неравенства  n2< 243.
Комментарий. Выделен общий множитель в показателях степени – 3 балла.

11.2    94950+80850+74350=250150.
11.3
Ответ. На 1.
Решение. Пустьm и n– соответственно количество мальчиков и девочек, аx и y– соответственно цена пирожка и булочки. Тогда, по условиюmx+ny+1=my+nx/     Отсюда             (x-y)(y_m}=1 . Но произведение натурального числа на целое равно 1, только если оба множителя равны 1.
11.4  Ответ. 60º.
Решение.

Обозначим  BAC = α,  ABC  = 2β,  BCA= 2γ. Пусть  BAC =  BDC. Тогда из треугольника ABC  α = 180º - 2β - 2γ, а из треугольника BDC  α = 180º - β – γ. Тогда β + γ = 0, что невозможно.
Пусть  BAC =   BDE.  Тогда из треугольника ABC  α = 180º - 2β - 2γ,  а  BDE является внешним для треугольника BDC,  поэтому α =  β + γ. Отсюда 3α = 180º, α = 60º.
11.5Решение. Сложив два данных равенства, получим a+ 3b +2c =3c+ 3a , откуда
c +2a= 3b .
Замечание. Решая систему методом подстановки получим: a = b = c, откуда также
следует доказываемое равенство.